Precisione e predizione… i limiti della nostra intuizione

Immaginate che una malattia infettiva si stia diffondendo nel mondo, e che sia disponibile un test, con ad esempio una precisione dimostrata del 90%. Fatevi la seguente domanda:

Qual è a probabilità che io sia infetta/o, se il test è positivo?

Solitamente le persone rispondono che la probabilità è del 90%, cioè uguale alla precisione del test. Questa risposta però è sbagliata e tradisce la nostra difficoltà nel ragionare in modo corretto con le probabilità.

In realtà, la probabilità in questione potrebbe essere un numero qualsiasi tra 0% e 100%!

Adesso vi spiego. Prima di farlo però, è necessaria una precisazione. Un test ha due tipi di precisione. Quella che gli permette di rilevare le persone infettate, che si chiama ‘sensibilità’, e quella che gli permette di rilevare le persone non infettate, che si chiama ‘specificità’. Possiamo però qui considerare, per semplificare la discussione, che la precisione del 90% del test in questione significhi che sia la sua sensibilità che la sua specificità sono del 90%.

Bene, com’è possibile allora che con un test preciso al 90%, la probabilità che una persona sia infetta, quando il responso del test è positivo, possa essere un numero qualsiasi, tra 0% e 100%?

È semplice. È possibile perché ci si dimentica che tale probabilità dipende da quanti infetti ci sono nella popolazione.

Per capire perché, dobbiamo prima ricordarci che la probabilità in questione è una probabilità condizionale. Stiamo infatti cercando la probabilità che la persona sia infetta (in), condizionalmente al fatto che il risultato del test sia positivo (+). Denotiamo questa probabilità P(in|+), come si è soliti fare in teoria delle probabilità:

P(in|+) = probabilità di essere infetti quando il test è positivo.

Bene, ora bisogna ricordarsi che la probabilità condizionale dell’evento “in” (di essere infetti), sapendo che l’evento “+” (di essere positivi) è realizzato, è data dalla probabilità che “in” e “+” siano contemporaneamente realizzati, diviso per la probabilità che “in” sia realizzato. Con notazione matematica, abbiamo pertanto la seguente formula: